Em um recipiente com a
forma de um paralelepípedo retângulo com 40 cm de comprimento, 25 cm de
largura e 20 cm de altura, foram depositadas, em etapas, pequenas
esferas, cada uma com volume igual a 0,5 cm3. Na primeira
etapa, depositou-se uma esfera; na segunda, duas; na terceira, quatro; e
assim sucessivamente, dobrando-se o número de esferas a cada etapa.
Admita que, quando o recipiente está cheio, o espaço vazio entre as esferas é desprezível.
Considerando 210 = 1000, o menor número de etapas necessárias para que o volume total de esferas seja maior do que o volume do recipiente é:
(A) 15
Admita que, quando o recipiente está cheio, o espaço vazio entre as esferas é desprezível.
Considerando 210 = 1000, o menor número de etapas necessárias para que o volume total de esferas seja maior do que o volume do recipiente é:
(B) 16
(C) 17
(D) 18
Alternativa correta: (B)
Eixo interdisciplinar: Álgebra
Item do programa: Sucessões
Subitem do programa: Progressões geométricas
Eixo interdisciplinar 2: Geometria
Item do programa 2: Figuras tridimensionais
Subitem do programa 2: Volumes de prismas
Objetivo: Calcular o volume de sólidos.
Comentário da questão:
O volume VE, em cm3, de todas as esferas depositadas até a enésima etapa é:
A expressão entre colchetes corresponde à soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica (P.G.) de razão 2. Então:
Como o recipiente tem o formato de um paralelepípedo, o volume VR do recipiente, em cm3, equivale a:
Como VE > VR, tem-se:
A expressão entre colchetes corresponde à soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica (P.G.) de razão 2. Então:
Como o recipiente tem o formato de um paralelepípedo, o volume VR do recipiente, em cm3, equivale a:
Como VE > VR, tem-se:
Logo, o menor número de etapas é 16.
Nível de dificuldade: Médio (acima de 30% e igual ou abaixo de 70%)
Fonte: http://www.revista.vestibular.uerj.br
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