terça-feira, 21 de outubro de 2014

UERJ 2014 Questões comentadas - 1° fase Questão 29

UERJ 2014 Questões comentadas - 1° fase Questão 29

 Uma esfera de centro A e raio igual a 3 dm é tangente ao plano a de uma mesa em um ponto T. Uma fonte de luz encontra-se em um ponto F de modo que F, A e T são colineares. Observe a ilustração:

Considere o cone de vértice F cuja base é o círculo de centro T definido pela sombra da esfera projetada sobre a mesa.
Se esse círculo tem área igual à da superfície esférica, então a distância FT, em decímetros,  corresponde a:
(A) 10
(B) 9
(C) 8
(D) 7

Alternativa correta: (C)
Eixo interdisciplinar: Geometria
Item do programa: Figuras tridimensionais
Subitem do programa: Áreas de cones e esferas
Objetivo: Calcular a altura de um cone com base em semelhança de triângulos.

Comentário da questão:
Considere-se o raio do círculo definido pela sombra igual a x. A área desse círculo será igual ax2.
A esfera possui  raio r = 3 dm. Logo, a área de sua superfície corresponde a:
4r2 = 36
Como a área do círculo é igual à da superfície esférica:
x2 = 36
x2 = 36
x = 6 dm
Observe agora a figura:


Os triângulos FMT e AFN são semelhantes. Sua razão de semelhança é expressa por:

Sabe-se assim que cada lado do triângulo maior equivale ao dobro do lado correspondente do triângulo menor. Pode-se estabelecer a seguinte equivalência:
No triângulo AFN:
Então:
 

Percentual de acertos: 33,42%
Nível de dificuldade: Médio (acima de 30% e igual ou abaixo de 70%)
Fonte: http://www.revista.vestibular.uerj.br  

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