Em uma sala, encontram-se
dez halteres, distribuídos em cinco pares de cores diferentes. Os
halteres de mesma massa são da mesma cor. Seu armazenamento é denominado
“perfeito” quando os halteres de mesma cor são colocados juntos.
Nas figuras abaixo, podem-se observar dois exemplos de armazenamento perfeito.
Nas figuras abaixo, podem-se observar dois exemplos de armazenamento perfeito.
Arrumando-se ao acaso os dez halteres, a probabilidade de que eles formem um armazenamento perfeito equivale a:
(A)
(B)
(C)
(D)
Alternativa correta: (B)
Eixo interdisciplinar: Álgebra
Item do programa: Problemas de contagem
Subitem do programa: Análise combinatória simples e com repetição
Objetivo: Calcular uma probabilidade com base em análise combinatória.
Comentário da questão:
O número total de
arrumações distintas é igual ao número de permutações dos dez objetos
com repetições de dois objetos cinco vezes, isto é:
O número de armazenamentos perfeitos é igual ao número de permutações simples dos cinco pares de mesma cor. Isso corresponde a:
Portanto, a probabilidade de organizar ao acaso os halteres, obtendo um armazenamento perfeito, equivale a:
Veja-se outra solução possível a seguir
A probabilidade de escolher um halter qualquer corresponde a
, e a probabilidade de o segundo halter ter a mesma cor do primeiro é de 
.Então, a probabilidade de os halteres do primeiro par terem a mesma cor é de
.A probabilidade de escolher outro halter qualquer, dado que já foram arrumados dois da mesma cor, é de
.A probabilidade de um quarto halter ter a mesma cor do terceiro é de
Então, a probabilidade de os halteres do segundo par terem a mesma cor é de
.Para os outros três pares de halteres, o raciocínio é o mesmo. Observe:
• Probabilidade de os halteres do terceiro par terem a mesma cor
• Probabilidade de os halteres do quarto par terem a mesma cor
• Probabilidade de os halteres do quinto par terem a mesma cor
Então, a probabilidade de obter um armazenamento perfeito ao acaso equivale a:
Percentual de acertos: 24,80%
Nível de dificuldade: Difícil (abaixo de 30%)
Fonte: http://www.revista.vestibular.uerj.br
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